El logaritmo natural suele ser conocido normalmente
como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos. Para
más detalles, véase logaritmo neperiano.
En matemáticas se denomina logaritmo natural o
informalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un
número irracional cuyo valor aproximado es 2,7182818284590452353602874713527.
El logaritmo natural se suele denominar como ln(x) o a veces como loge(x),
porque para ese número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1.
El logaritmo natural de un número x es entonces el
exponente a al que debe ser elevado el número e para obtener x. Por ejemplo, el
logaritmo de 7,38905... es 2, ya que e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya
que e1=e.
Desde el punto de vista del análisis matemático,
puede definirse para cualquier número real positivo x>0 como el área bajo la
curva y=1/tentre 1 y x. La sencillez de esta definición es la que justifica la
denominación de «natural» para el logaritmo con esta base concreta.2 Esta
definición puede extenderse a los números complejos.
Introducción a los logaritmos naturales y comunes
Objetivos de aprendizaje
·Usar una calculadora para encontrar algoritmos o potencias de base e.
·Graficar funciones exponenciales y logarítmicas de base e.
·Encontrar logaritmos de base distinta de e o 10 usando la fórmula de cambio de base.
Introducción
En las funciones exponenciales y logarítmicas, cualquier número puede ser la base. Sin embargo, hay dos bases que se usan tan frecuentemente en las matemáticas que tienen nombres especiales para sus logaritmos, ¡y las calculadoras científicas tienen teclas especiales para ellos! Estos son los logaritmos comunes y los logaritmos naturales.
Los logaritmos naturales son distintos a los algoritmos comunes. Mientras que la base de los logaritmos comunes es 10, la base de un logaritmo natural es el número especial e. Si bien esto parece una variable, representa un número irracional aproximadamente igual a 2.718281828459. (Como pi, continúa sin un patrón repetido en sus dígitos.) e también se llama número de Euler o constante de Napier y se escogió la letra e en honor del matemático Leonhard Euler (pronunciado oiler).
e es un número complicado pero interesante. Veámoslos más de cerca a través del lente de una fórmula que ya has visto antes: interés compuesto.
La fórmula del interés compuesto es , donde A es la cantidad de dinero después de t años, P es el principal o inversión inicial, r es la tasa de interés anual (expresada como decimal, no como porcentaje),m es el número de periodos compuestos en un año y t es el número de años.
Imagina qué pasa cuando el compuesto sucede frecuentemente. Si el interés es compuesto anualmente, entonces m = 1. Si el compuesto es mensual, entonces m = 12. El compuesto diario se representaría por m = 365; por cada hora sería m = 8,760. Puedes ver que al aumentar la frecuencia de los periodos compuestos, el valor de m aumenta rápidamente. ¡Imagina el valor de m si el interés fuera compuesto cada minuto o cadasegundo!
Incluso puedes ir más allá de un segundo y eventualmente obtener un compuesto continuamente. Observa los valores en esta tabla, que se parece mucho a la expresión multiplicada por P en la fórmula anterior. Conformex aumenta, la expresión se parece cada vez más a un compuesto continuo.
logaritmos naturales o neperianos
Los logaritmos naturales o logaritmos neperianos son los que
tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).
Los logaritmos neperianios deben su nombre a su descubridor
John Neper y fueron los primeros en ser utilizados.
El logaritmo neperiano de x (ln x) es la potencia a la que
se debe elevar e para obtener x.
